Eine Entdeckungsreise in die Welt des Unendlichen

Das Buch nimmt die Leserschaft mit auf eine Entdeckungsreise in die Welt des Unendlichen. Es wird aufgezeigt, wie das Unendliche von der Antike bis in die Neuzeit immer wieder Quell der Inspiration war, um die Mathematik auf feste Grundlagen zu stellen. Von der Entdeckung der irrationalen Zahlen in der Antike führt das Buch über Dedekinds Konstruktion der reellen Zahlen sowie Cantors und Zermelos Mengenlehre bis zum Banach-Tarski-Paradoxon und Conways spielerischer Konstruktion der surreellen Zahlen.Die Entdeckung, dass sich nicht jedes Verhältnis von zwei Streckenlängen als Verhältnis ganzer Zahlen ausdrücken lässt, hat gezeigt, dass sich nicht jede reelle Zahl durch einen endlichen Term ausdrücken lässt, sondern dass es dazu etwas Unendliches braucht. Solch eine Darstellung wurde aber erst zwei Jahrtausende später durch Dedekind gefunden. Kurze Zeit nach Dedekinds Konstruktion der reellen Zahlen hat dann Cantor eine Theorie entwickelt, die Mengenlehre, in der mit verschiedenen Unendlichkeiten gerechnet werden kann. Diese Theorie wurde dann später von Zermelo auf ein axiomatisches Fundament gestellt. Das erste Axiom der Zermelo'schen Mengenlehre ist das Auswahlaxiom, welches viele, zum Teil paradoxe, Anwendungen hat. Im Buch wird unter anderem gezeigt, wie sich mit Hilfe des Auswahlaxioms das Banach-Tarski-Paradoxon beweisen lässt, welches besagt, dass sich jeder beschränkte Körper, zum Beispiel ein Würfel, so in endlich viele Teile zerlegen lässt, dass sich daraus ein beliebiger anderer Körper, beispielsweise eine Kugel, zusammensetzen lässt. Zum Schluss kehren wir wieder zurück zu den reellen Zahlen, genauer zu den surreellen Zahlen, welche mit Conways Hackenbush-Spielen eingeführt werden.Die Reise wird immer wieder aufgelockert durch zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben, welche helfen den Text zu verstehen. Die Voraussetzungen sind so gewählt, dass das Buch bereits für Studierende mit geringen Vorkenntnissen zugänglich ist. Entstanden im Rahmen einer Vorlesung fürs Lehramt, richtet sich dieses Buch ganz besonders auch an Lehramtsstudierende.