Theorie Der Differentialgleichungen

Unter einer gewohnlichen Ditferentialgleichung versteht man eine Beziehung 2 d Y dy dtlY) ( ... , dx =0 tl f X,Y, dx' dx2' zwischen einerFunktion y (x) einer Variablen x, einer Anzahl von Ab leitungen dieser Funktion und der Veranderlichen x. Wenn Ableitungen bis zur n-ten Ordnung einschlieBlich vorkommen, so spricht man von einer Differentialgleichung n-ter Ordnung. So ist z. B. dy dx-x-y=O eine Differentialgleichung erster Ordnung. 2 dy d y + 2 + = 0 2 dx dx Y dagegen ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die Benennung Ordnung bezieht sich auf die Hochstordnung der vorkommenden Ab leitungen und ist nicht mit dem fUr einige Differentialgleichungen zu erklarenden Begriff des Grades zu verwechseln. Wir werden z. B. dy ilx-x-y=O oder dy dx + x2y = 0 linear oder yom ersten Grad nennen, well links lineare Funktionen von y' = :: und y stehen. Das Adjektiv gewohnlich bezieht sich darauf, daB es sich urn Funktionen y (x) einer Variablen x handeIt. Es setzt diese Differentialgleichungen in Gegensatz zu den partieUen, bei wel chen es sich urn Funktionen von zwei oder mehr Variablen handeIt. So ist z. B. az + az _ II) ax ay - e eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung. Es kann auch vorkommen, daB ein System von mehreren Dif ferentialgleichungen fUr mehrere Funktionen oder auch fUr eine Funk tion einer oder mehrerer Variablen vorgelegt ist. Immer aber ist die BIEBERBACH, Differentialgleichungen. 3. Aufl. 1 Einleitung.